狄利克雷函數(shù)為什么是周期函數(shù)

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瑞文問答

2024-07-11

狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)證明:取T為任意一個確定的有理數(shù),則當(dāng)x是有理數(shù)時f(x)=1,且x+T是有理數(shù),故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);當(dāng)x是無理數(shù)時,f(x)=0,且x+T是無理數(shù),故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。綜上,狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)。

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  證明過程:

  狄利克雷函數(shù)即f(x)=1(當(dāng)x為有理數(shù));f(x)=0(當(dāng)x為無理數(shù));而周期函數(shù)的定義是對任意x,若f(x)=f(x+T),則f(x)是周期為T的周期函數(shù)。

  顯然,取T為任意一個確定的有理數(shù),則當(dāng)x是有理數(shù)時f(x)=1,且x+T是有理數(shù),故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);當(dāng)x是無理數(shù)時,f(x)=0,且x+T是無理數(shù),故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。綜上,狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù),其周期可以是任意個有理數(shù),所以沒有最小正周期。

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